Apostila
Material auxiliar - ppgfil/UFRN
LÓGICA EM FILOSOFIA
1
INTRODUÇÃO:
CONCEITOS BÁSICOS
Quero começar expondo algumas noções básicas que
possuem utilidade propedêutica para estudantes de cursos de filosofia.
1. ARGUMENTO
A primeira noção a ser considerada é a de sentença,
que é um conjunto unificado de símbolos. Uma sentença é pode ser afirmativa,
interrogativa, um comando, uma exclamação... casos nos quais não será nem
verdadeira nem falsa. O que nos interessa aqui são as sentenças assertivas. Uma
sentença assertiva é a que exprime uma proposição, que pode ser definida
como aquilo que a sentença diz, o sentido,
pensamento, ou conteúdo semântico por ela expresso. Característico da
proposição assim considerada é que ela pode ser verdadeira ou falsa. Ao
conjunto da sentença assertiva com a proposição por ela expressa iremos chamar
de enunciado.
Um argumento
é uma sequência de enunciados na qual um dos enunciados é a conclusão e os
demais são as premissas, as quais servem de evidência para a conclusão. Exemplo
de argumento:
(1)
Todos os
homens são mortais. (primeira premissa)
Sócrates
é homem (segunda premissa)
Portanto:
Sócrates é mortal (conclusão)
O raciocínio é o argumento pensado enquanto o argumento é o
raciocínio linguisticamente expresso.
A lógica
estuda os argumentos; ela pode ser definida como o estudo da relação formal entre as premissas e a conclusão dos
argumentos.
Existem
dois tipos de argumento: os dedutivos e os indutivos. Vejamos
primeiro os argumentos dedutivos. Os argumentos dedutivos se definem como aqueles nos quais se todas as premissas
forem verdadeiras a conclusão terá de ser verdadeira. Ou, o que vem a dar
no mesmo, aqueles nos quais é
(logicamente) impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja
falsa. Uma característica suplementar é que neles a conclusão já vem
implícita nas premissas.
No
argumento dedutivo a verdade das premissas garante
a verdade da conclusão, não sendo possível que as premissas sejam verdadeiras e
a conclusão falsa. Isso significa que, dada a verdade das premissas, a
conclusão passa a ter probabilidade 1 (probabilidade de 100% de ser
verdadeira). O argumento apresentado no exemplo (1) é dedutivo, pois a
conclusão de que Sócrates é mortal já estava implícita nas premissas. Além do
mais ele é válido, pois se for verdade que todos os homens são mortais e que
Sócrates é homem, se torna necessariamente verdadeiro que ele é mortal.
Devido ao
fato de a conclusão já se encontrar de algum modo implícita nas premissas, o argumento dedutivo não é capaz de
ampliar o nosso conhecimento. Considere outra vez o exemplo (1). A conclusão de
que Sócrates é mortal já vem implícita nas premissas, que dizem que ele é homem
e que todos os homens são mortais. Esse fato deixa de parecer óbvio em
argumentos mais complexos.
O argumento
dedutivo é chamado de válido quando,
sendo as suas premissas verdadeiras a sua conclusão é necessariamente
verdadeira. A definição de validade é na verdade redundante, servindo apenas para distinguir a classe dos argumentos
dedutivos da classe dos argumentos aparentemente
dedutivos. Eis um exemplo de argumento aparentemente dedutivo (inválido):
(2)
Todos os
homens são mortais.
Sócrates é
mortal.
Portanto:
Sócrates é homem.
É
inválido porque se Sócrates fosse um cão as premissas seriam verdadeiras e a
conclusão falsa. É crucial entender que a validade do argumento não depende da
verdade das premissas. Argumentos válidos
com premissas verdadeiras são chamados de corretos (sound). Considere o argumento:
(3)
Todos os ratos
são cães.
Todos os cães
comem gatos.
Portanto: todos os ratos comem gatos.
Esse
argumento é válido, pois se as premissas forem verdadeiras, a conclusão será
verdadeira. Se fosse o caso que os ratos fossem cães e comessem gatos, então os
ratos comeriam gatos. Mas como isso não é o caso, ele não é correto. A lógica
não se interessa pela correção dos argumentos, mas pela validade deles. Ela se
interessa pela forma dos argumentos capazes de transmitir verdade das premissas
para a conclusão. Em filosofia não nos interessamos apenas pela validade de
nossos argumentos, mas também pela sua correção, o que filósofos formalistas extremados
(os logicósofos) costumam esquecer.
Vejamos
agora os argumentos indutivos. Eles podem ser definidos como aqueles em que a
conclusão contém conteúdo que não está implícito nas premissas, sendo, pois,
capaz de ampliar nosso conhecimento. Neles
a verdade das premissas não torna (logicamente) necessária a verdade da
conclusão. Neles a verdade das premissas dá à conclusão um grau de
probabilidade que é sempre menor do que 1 (menor do que 100%). Quando a
probabilidade da conclusão é maior do que 0,5 (maior do que 50%) dizemos que o
argumento indutivo é forte (ou válido). Nesse caso ele torna a
verdade da conclusão provável. Exemplo:
(4)
O sol sempre nasceu a cada dia.
Portanto: o sol também nascerá amanhã.
O argumento
indutivo pode ter a conclusão falsa, mesmo sendo as suas premissas verdadeiras.
É perfeitamente possível, embora improvável, que o sol não nasça amanhã. Quando
a probabilidade da conclusão do argumento indutivo é menor do que 0,5, dizemos
que o argumento é indutivamente fraco (ou inválido). Eis um exemplo:
(5)
Alguns brasileiros gostam de picles.
João é Brasileiro,
Portanto: João gosta de picles.
Note-se que
a força de um argumento indutivo pode variar com a adição de novas evidências.
Um argumento indutivo deve conter todas as premissas relevantes para a sua
conclusão. Se no argumento (4) a premissa “Esta tarde o planeta errante Melancholia
irá colidir com a terra” estivesse sendo suprimida, o argumento seria
indutivamente fraco. A supressão de premissas relevantes para um argumento
indutivo se chama de falácia a evidência
suprimida.
Argumentos
também podem ser relevantes ou não. Um argumento é relevante quando as premissas são relevantes para a conclusão. Um
argumento é bom quando é
dedutivamente válido e relevante ou quando é indutivamente forte. Eis um
exemplo de argumento válido, mas sem relevância:
(6)
Alguns mosquitos picam.
Alguns mosquitos não picam.
Todas as coisas são idênticas a
elas mesmas.
Curiosamente, esse é um argumento dedutivo válido. A validade decorre do
fato de que as premissas são verdadeiras e a conclusão é um enunciado
necessariamente verdadeiro. Mas a conclusão “Todas as coisas são idênticas a
elas mesmas” é necessariamente verdadeira por si mesma, ela não resultando aqui
da verdade das premissas, sendo essa conjunção de verdades mera coincidência.
Esse argumento é válido, mas não é relevante, pois a relevância se mede pelo
quanto a verdade das premissas importa
para a verdade da conclusão, e aqui elas não parecem importar nem um pouco.
===========
Exercício I
Classifique cada um dos seguintes argumentos em
dedutivo ou indutivo, correto ou incorreto. Se indutivo, diga se é forte ou
fraco. Diga se o argumento for irrelevante.
(1)
Nenhum ser humano tem 10
metros de altura.
João é um ser humano.
Portanto: João não pode ter dez metros de
altura.
(2)
Geralmente faz calor em Mossoró.
Está fazendo calor em Mossoró.
(3)
Alguns porcos tem asas.
Todas as coisas aladas gorjeiam
Portanto: Alguns porcos gorjeiam.
(4)
João está lendo Proust.
Portanto: João tem mais de um mês de idade.
(5)
Deus fez o universo.
Deus é perfeitamente bom.
Se Deus é perfeitamente bom então ele não
permite o mal.
Portanto: não existe o mal no universo.
(6)
O céu está carregado de nuvens negras.
Se chover não haverá piquenique.
Portanto: parece que não haverá piquenique.
(7)
Uma vez olhei para um sapo e no mesmo dia
quebrei o dedo.
Olhar para um sapo dá azar.
(8)
7 + 2 = 9
1 + 1 = 2
Portanto: 2 + 2 = 2 x 2
(9)
5 > 2
8 > 5
Portanto 8 > 2
(10)
Nenhum
ser humano tem mais de 150 anos.
Portanto: nenhum ser humano vivo viverá mais de 150 anos.
(11)
Todos os homens são mortais.
Silver (o cavalo de Zorro) é mortal.
Portanto: Silver é um homem.
(12)
Um
fóssil não pode ser enganado no amor.
Uma
ostra pode ser enganada no amor.
Portanto: ostras não são fósseis.
Respostas do exercício I:
(1) dedutivo, correto (sound), relevante; (2) indutivo,
forte, relevante; (3) dedutivo, incorreto (unsound); (4) indutivo forte; (5)
dedutivo, correto, pouco relevante; (6) indutivo forte, bom; (7) indutivo fraco,
mau; (8) dedutivo, correto, irrelevante. (9) dedutivo, correto, relevante. (10)
indutivo, correto, bom. (11) Dedutivo, inválido, incorreto (12) dedutivo válido
incorreto.
2. DEFINIÇÃO
Outro conceito importante é o de definição. Uma
definição é a especificação do
significado ou do conteúdo conceitual de uma expressão.
Há muitas
formas de definição, algumas delas são as seguintes:
1. Definição ostensiva: é o simples apontar para o objeto ou mostrar o objeto
ao qual o termo se aplica. É muito usada pelos pais quando eles ensinam o
significado de nomes comuns aos filhos.
São possíveis enganos no aprendizado, mas
esses enganos podem ser corrigidos em experiências de re-identificação
interpessoal.
2. Definição verbal extensional. Os termos de nossa linguagem possuem intensão e extensão. A extensão de um termo é o conjunto dos objetos aos quais
o termo se aplica. Assim, a extensão do termo ‘cão’ é o conjunto de todos os
cães e a extensão do termo ‘aluno’ é o conjunto de todos os alunos.
A definição ostensiva é uma definição
não-verbal extensional. Por exemplo: essa é a famosa torre Eiffel. A definição
verbal extensional é a que nomeia verbalmente os membros do conjunto, ao invés de
apontar para eles. Exemplo: Mônica tem três galinhas, cujos nomes são Anita
Garibaldi, Tarsila do Amaral e Clarice Lispector (exemplo pueril).
3.
Definição intensional. A intensão de um termo é o conjunto de
todas as propriedades que uma coisa
precisa necessariamente ter para que o termo se aplique a ela. A intensão determina
a extensão. Quando uma definição intensional explícita de um termo é dada, uma
frase cujo significado equivale ao do termo é enunciada. Por exemplo: (Df.) ‘solteiro’ = uma pessoa adulta, de
sexo masculino, não-casada. Há dois tipos de definição intencional mais
importantes:
a) Definição que mostra como uma palavra é comumente
usada: é o caso de
definições de dicionário em geral, chamadas de definições lexicais. Esse
é também o caso de definições ditas reais, que intentam descobrir a essência, ou seja, condições
metafisicamente necessárias para que algo seja uma coisa nomeada pelo termo que
se quer definir.
Uma forma clássica de definição real é a
aristotélica, na qual o definiendum (aquilo
que se quer definir) é explicado pelo definiens
(o que define); o definiens é
constituído por um gênero próximo
(distintivo da classe mais próxima à qual pertence) e por uma diferença específica (distintivo da
classe que o caracteriza). Por exemplo:
1) homem (definiendum)
= animal (gênero próximo) racional (diferença específica) (definiens);
2) casa (definiendum)
= abrigo (gênero próximo) para seres vivos (diferença específica).
Definições
reais e as definições em geral devem satisfazer as três condições seguintes:
(1) Elas devem dizer o que a coisa é e não
o que ela não é. Ela não deve ser nem estreita nem larga demais, ou
seja, deve enunciar as propriedades de todos os membros de sua classe
extensional e somente desses membros.
Exemplos de definições largas demais: Faca =
instrumento para cortar. É larga demais, pois uma tesoura é um instrumento para
cortar e não é uma faca. Homem = bípede implume. Também é larga demais, pois é
possível que existam bípedes implumes que não sejam homens, como a galinha
depenada.
Exemplos de definições estreitas demais: Mesa = uma
peça de mobília que tem um tampo horizontal e quatro pernas. Ela é estreita
demais, pois há mesas de três pernas. Solteiro = estudante adulto não casado. É
estreita demais, pois cobre menos que a extensão dos solteiros.
Há definições que são demasiado estreitas e
largas ao mesmo tempo. Exemplo: Gato = animal doméstico. É larga porque cães
também são animais domésticos e ao mesmo tempo estreita porque gatos selvagens
também são gatos.
(2) O definiens
deve ter uma vaguidade idêntica a do que se quer definir. Por exemplo,
“Mulher = fêmea humana adulta”, está certo. Mas a definição “Mulher = fêmea humana
de mais de 18 anos” é uma em que o definiens
é demasiado preciso.
(3) Uma definição não pode ser circular.
Definição circular é aquela que incorpora parte do definiendum no definiens.
Exemplos: gramínea = qualquer planta verde que é comida por animais gramíneos;
Sonífero = medicamento com virtude dormitiva.
b)
Definição que introduz uma nova palavra na linguagem: Novas situações podem exigir a introdução
de novas palavras, por exemplo, ‘astronauta’ = pessoa treinada para dirigir
foguetes no espaço (de astro = estrela, nauta = marinheiro). Tais definições
são chamadas de estipulativas. Elas evidenciam o caráter convencional da linguagem. Exigências:
(i) não podem ser palavras que já tem um sentido standard amplamente aceito (Humpty-Dumpty). (ii) Precisa ser uma
adição útil (o uso de jargão especializado desnecessário apenas dificulta o
entendimento pelo leigo).
c)
Definições que reduzem a vaguidade. Outro caso é o de redefinições de termos
ordinários que reduzem a sua vaguidade para fins práticos. Um caso de definição
que tipicamente reduz a vaguidade é o das assim chamadas definições
teoréticas, que envolvem o compromisso com uma teoria. (Teoria = crença geral que é expressa em um conjunto de enunciados sobre a natureza
do objeto.) Ex: pessoa morta = aquela cujas funções cerebrais cessaram. Envolve
teoria sobre o caráter da vida humana. Ex: momento = produto da massa pela
velocidade do corpo.
4. Definições
operacionais (instrumentais):
Bridgman e outros buscaram definir termos especificando os procedimentos
empíricos nos quais eles são envolvidos. Exemplos: “Essa chama é azul = essa
chama tem comprimento de onda entre 4,2 e 4,6 angstroms”; “Essa substância é
solúvel em água = se colocada dentro d´água ela se dissolve.” Torna-se problemática quando se trata de termos
altamente teóricos, como elétron, que demandam teorias sofisticadas para seu
entendimento.
3. VAGUIDADE
Há outros conceitos importantes que precisam ser
introduzidos como o de vaguidade. Uma expressão é vaga se ocorrem casos
limítrofes para a sua aplicação. Exemplos: calvo, velho, rico, feliz... Vaguidade
também surge quando existe uma variedade de critérios de aplicação para um
termo. Exemplo: religioso. Para esse
conceito há vários critérios: (i) crente em um Deus pessoal, (ii) membro de uma seita, (iii) seguidor
de um código de valores, (iv) piedoso, (v) reverente para com outros seres
vivos e para com o universo. Outro exemplo é a palavra ‘jogo’: do jogo de
futebol ao jogo de xadrez e ao jogo de solitário existem múltiplos tipos.
Wittgenstein famosamente usou para casos como esse a expressão “semelhanças de
família”: membros de uma grande família têm diferentes traços comuns que os
ligam entre si.
As linguagens
formais da lógica e da matemática não são vagas. Mas a linguagem empírica
dependente da experiência é quase que inevitavelmente vaga. Já foi até sugerido
que a linguagem empírica é vaga porque a vaguidade é uma característica
metafísica do mundo real (Inwagen).
A vaguidade
pode ser importante na conversação social (ex: “Vemo-nos logo”, sem se dizer
quando), pois permite deixar em aberto coisas que não é de bom alvitre
precisar. A vaguidade também é importante na diplomacia internacional (ex: “O
governo deverá tomar medidas fortes no caso de violação de fronteiras”, sem que
se diga que medidas), evitando detalhes cuja consideração é indesejável.
A vaguidade
precisa ser distinguida da ambigüidade, que é a propriedade de um
conceito de ser entendido de duas ou mais maneiras. A ambigüidade pode ocorrer
em qualquer nível de significado da linguagem, frases, parágrafos, livros...
sendo responsável pela múltipla interpretabilidade de certos textos literários.
Exemplo: a palavra ‘banco’ pode
significar uma instituição financeira ou então algo muito diferente, que é um
banco para se sentar. Muitas palavras são ambíguas e também vagas.
========
Questões:
Encontre (i) um exemplo de palavra vaga, (ii) um
exemplo de palavra ambígua, (iii) um exemplo de palavra vaga e ambígua.
4. AS TRÊS “LEIS DO PENSAMENTO”
A lógica já foi definida
como o estudo das leis do pensamento, o que não é exato, pois como pensamentos
são atos mentais, ela pode nos fazer confundir lógica com psicologia. Contudo,
há tradicionalmente três assim chamadas leis ou princípios fundamentais de todo
o ser ou pensamento que em filosofia vale lembrar.
O primeiro é o princípio da identidade. Em
sua versão ontológica ele diz que uma coisa é sempre igual a ela mesma e em sua
versão epistêmica diz que uma coisa é sempre pensada como igual a ela mesma.
Ele pode ser formulado como:
“Se algo é A é A” ou “A =
A”.
O segundo princípio é o da não-contradição
(ou contradição). A sua formulação ontológica é:
1) “Nada pode ser A e não ser
A ao mesmo tempo e sob a mesma perspectiva”.
2) Ele também pode receber a seguinte formulação
epistêmica: “Não se pode pensar A de algo (predicar) e negá-lo (negar a
predicação) ao mesmo tempo e sob a mesma perspectiva.
3) Ele pode finalmente receber uma formulação
lingüística: um enunciado não pode ser verdadeiro e falso. Formalmente: ~(A ˄
~A). Exemplo: uma flor não pode ser e não ser vermelha ao mesmo tempo e sob a
mesma perspectiva.
Aristóteles foi quem primeiramente formulou
e discutiu esse princípio em sua Metafísica.
Segundo esse autor, “o mesmo ao mesmo e na mesma relação não se pode aplicar e
não aplicar” (1005b 19s). Não se pode provar esse princípio, pois ele é
pressuposto por qualquer prova. Mas ele mostra que podemos prová-lo
indiretamente, reduzindo ao absurdo a sua negação. Negar tal princípio é
realizar uma asserção meramente verbal, não acompanhada de pensamento, pois
basta pensar alguma coisa para pressupor o princípio. Quem nega tal princípio, escreve
Aristóteles, deve ficar mudo como um tronco de árvore, pois se abrir a boca irá
se contradizer. É importante a adição “...ao mesmo tempo e sob a mesma
perspectiva (ou aspecto ou ponto de vista)”. Digamos que alguém afirme que
Teeteto está sentado e, logo a seguir, Teeteto se levanta e alguém afirme que
Teeteto não está sentado. Isso não contradiz o princípio, pois Teeteto está sentado
e de pé em tempos diferentes. Da mesma forma um objeto pode parecer amarelo e
não parecer amarelo, mas, digamos, branco, quando visto sob perspectivas
diferentes, o que também não contradiz o princípio.
Uma objeção ao princípio poderia ser a de que
não podemos então aplicar duas predicações diversas a um mesmo objeto, por
exemplo, dizer que ele é azul e dizer que ele é anguloso. Mas essa objeção
resulta de se confundir diferentes âmbitos
de incompatibilidades (Strawson). Dois predicados F e G pertencem ao mesmo âmbito de incompatibilidades se ao
dizer “a é F” eu não posso dizer “a é G”. Por exemplo, se digo que o objeto a é
azul, não posso dizer que ele é verde, vermelho, amarelo... pois esses
predicados pertencem ao mesmo âmbito de incompatibilidades. Mas posso dizer que
a é azul e ao mesmo tempo que a é anguloso sem com isso cair em contradição.[1]
Finalmente, há o princípio do terceiro
excluído ou da bivalência, que em sua formulação ontológica afirma que:
Cada coisa ou é A ou não é
A, não podendo haver uma terceira possibilidade.
Linguisticamente, este princípio pode ser
expresso dizendo-se que um enunciado ou é verdadeiro ou é falso, não havendo
uma terceira possibilidade. A versão formal do princípio do terceiro excluído: “A
˅ ~A”. Exemplos: “Uma coisa ou é uma flor ou não é uma flor, não podendo ser
uma terceira”.
Parece haver aqui um problema com respeito
a vaguidade. O que dizer de casos intermediários como o de uma coisa que não é
amarela nem chega a ser laranja, deixando, pois, de ser amarela, mas que é de
um amarelo meio alaranjado... Ao que parece o enunciado “Essa coisa é amarela”
não chega a ser verdadeiro nem falso. Uma resposta é dizer que um suposto pensamento
ou proposição que não seja realmente nem verdadeiro nem falso não seja apto a
formar um juízo, um enunciado, uma asserção, e que nossa lógica deve excluir
enunciados ou proposições ou pensamentos desse tipo por serem inúteis e
incapazes de dizer alguma coisa sobre o mundo.
Pode-se defender que há uma ordem de
pressuposição entre os três princípios: o princípio da identidade ou “A = A” afirma
que uma coisa é ela mesma. O princípio da não-contradição ou “~(A ˄ ~A)” afirma
que – sendo uma coisa ela mesma – ela não pode não ser ela mesma (quando a
pensamos como sendo ela mesma, não podemos pensá-la como sendo outra coisa). Já
“A ˅ ~A” afirma que, sendo uma coisa ela mesma e não podendo não ser ela mesma,
ela não pode ser uma terceira coisa que esteja entre ser e não ser ela mesma. Em
termos formais podemos dizer que (A ↔ A) → ~(A ˄ ~A) → (A ˅ ~A), o que a tabela
de verdade demonstra ser uma tautologia de lógica clássica.
As leis do pensamento eram consideradas por
Aristóteles princípios metafísicos pelo fato de se aplicarem à totalidade do real. A metafísica é a
ciência que estuda o “ser enquanto ser”, ou seja, as propriedades concernentes
a tudo o que é – a tudo o que existe, tanto no âmbito do físico quanto do
mental. O universo, na medida em que é compreensível, é compreensível porque
tudo nele segue as leis do pensamento como o princípio da contradição. Sendo
assim então a lógica, ao menos em seus fundamentos, pertence à metafísica, pois
é um pressuposto tanto de todos os objetos das ciências particulares quanto de
todo o pensamento sobre esses objetos.
Além
disso, se considerarmos que a lógica é omniabrangente, desaparece a razão para
pensarmos que ela deva transcender o mundo empírico. A razão usual para
dizermos que um conhecimento não é empírico é que ele pode ser falseado por
matérias de fato empíricas. Mas o conhecimento de algo empiricamente
omniabrangente, aplicando-se a tudo, não pode ser falseado por nada que seja
empírico, mesmo sendo empírico. O próprio fato do mundo existir demonstra a sua
validade.
Ressoando o
insight aristotélico, Wittgenstein sugeriu em seu Tractatus Logico-Philosophicus que para existir representação é
necessário minimamente que a forma lógica seja aquilo que existe em comum
entre o que representa e o que é representado.
(O que se segue é uma adaptação de Logic: a quick way to the first rates.)
2
CÁLCULO PROPOSICIONAL
Há argumentos cuja validade depende apenas das relações
entre as proposições e o cálculo que justifica a sua validez é chamado de
cálculo proposicional. Usamos letras maiúsculas para enunciados. As letras sentenciais
são combinadas pelos assim chamados operadores ou conectivos lógicos. Eles
costumam ser cinco: ~ (não) ˅ (ou) ˄ (e) → (se... então) ↔ (se e somente se).
Sintaxe
Uma fórmula da linguagem proposicional é qualquer
sequência de símbolos do vocabulário lógico. Mas há fórmulas sem sentido, como
→˅AB e fórmulas que tem sentido, como A → B e que são chamadas de fórmulas bem
formadas. Há quatro regras de formação que aplicadas recursivamente permitem
estabelecer qualquer fórmula bem formada de nossa linguagem. Usando letras
gregas para denotar fórmulas arbitrárias temos:
1. Qualquer letra sentencial é uma wff.
2. Se j é uma wff, então ~ j é uma wff.
3. Se j e y são wff,
então ( j ˅ y )
(j ˄ y) (j → y )
e (j ↔ y)
são wff.
4. Qualquer coisa que não resulta da aplicação
das regras 1-3 não é uma wff.
Essas
fórmulas estabelecem a sintaxe do cálculo proposicional. Assim, por exemplo, ~(j → y)
é uma fórmula bem formada pela aplicação da regra 1 à fórmula bem formada (j → y ).
Não há limite para as combinações possíveis.
Parênteses:
Os parênteses determinam o que tem primazia no
cálculo. Para se diminuir o número de parênteses, dá-se aos operadores do
cálculo proposicional pesos e se elimina os parênteses externos. Assim, sendo
os operadores ~ ˅ ˄ → ↔, o peso aumenta da esquerda para a direita, sendo o
menor deles o da negação e o maior deles o da biimplicação. Para dar um exemplo,
a fórmula “~p ˅ q ˄ r → s ↔ t” se for lida como “(((~p) ˅ q) ˄ r) → s) ↔ t” não
precisa de parêntesis.
Semântica:
A semântica de uma expressão é a sua contribuição para o valor-verdade (verdadeiro ou falso) do
enunciado composto em que ela ocorre. A semântica de um operador lógico é
dada por uma regra determinando o valor-verdade de qualquer sentença composta
envolvendo o operador a partir do valor-verdade de seus componentes. Ao
fazermos isso assumimos o princípio da bivalência, segundo o qual os enunciados
são sempre ou verdadeiros ou falsos. O
primeiro procedimento de decisão é a tabela de verdade. Usando as abreviações V
para verdadeiro e F para falso podemos estabelecer as definições semânticas de
cada operador através de tabelas de verdade. Para a negação a tabela de verdade
é:
j ~j
V
F
F V
A negação é um operador monádico, que produz
um novo enunciado a partir de um enunciado já existente. Os outros conectivos
são diádicos, ou seja, eles relacionam enunciados entre si. Para ˅ a tabela de
verdade é:
jy j ˅ y
VV
V
VF V
FV V
FF F
É preciso
notar que a disjunção geralmente utilizada em lógica é uma disjunção inclusiva, pois mesmo nos casos em que
ambos os enunciados sejam verdadeiros o resultado será verdadeiro. Há exemplos
disso na linguagem ordinária: “Eu vou a Paris ou vou visitar a torre Eiffel”.
Mais comum, porém, é a disjunção exclusiva: “Depois do jantar vou ao
cinema ou vou ao teatro”, pois nesse caso é falso que os dois enunciados sejam
conjuntamente verdadeiros.
Para ˄ a tabela de verdade é:
jy j
˄ y
VV V
VF F
FV F
FF F
O ˄ é muito parecido com o ‘e’ da linguagem ordinária,
mas difere pelo fato de que na linguagem natural os enunciados unidos por um ‘e’
costumam estar relacionados entre si. Não faz muito sentido dizer “Natal é uma
cidade e peixes são animais aquáticos” a menos que se queira relacionar uma
coisa com a outra.
Para o
condicional ‘→’ chamado de “implicação material”, a tabela de verdade é:
jy j → y
VV V
VF F
FV V
FF V
Importante aqui é que o único resultado falso é aquele
no qual o enunciado antecedente é verdadeiro e o consequente falso. Mas todas
as combinações possuem menos do que aquilo que é pressuposto quando falamos de
implicação na linguagem natural. Primeiro, “Se o Brasil é um país então peixes
são animais aquáticos” é uma implicação verdadeira, pois tanto o antecedente
quanto o consequente são verdadeiros; mas soa estranho, pois na linguagem
natural esperamos que o antecedente tenha algo a ver com o consequente. Vejamos
a terceira combinação de valores: “Se existem quadrados redondos então os
peixes são animais aquáticos”. O antecedente é falso e o consequente
verdadeiro: portanto, o enunciado condicional é verdadeiro. Nossa intuição não confirma
que se existem quadrados redondos então os peixes são animais aquáticos; mas
ela também não contraria esse resultado. Vejamos agora o seguinte exemplo da
última combinação: “Se quadrados são redondos então uma coisa é diferente de si
mesma”. Como antecedente e consequente são falsos, o condicional é verdadeiro.
Aqui também nada há de intuitivo no resultado. Tudo o que podemos dizer é que
esse resultado ao menos não contradiz as intuições de nossa linguagem natural. O
fato é que na linguagem natural assumimos que deva haver alguma relação entre
antecedente e consequente, por exemplo, uma relação causal, quando se diz “Se a
água está fervendo então ela deve estar a 100º C”, ou alguma outra relação
associativa, como quando se diz “Se o ônibus está estacionado então os
passageiros devem estar no restaurante”. ou ainda uma relação analítica, como
quando se diz “Se hoje é sexta amanhã é sábado”. Contudo, embora a implicação
material não seja respaldada pela linguagem natural, como a linguagem natural
não as rejeita, ela não deixa de estar contida de modo muito genérico na
linguagem natural, embora sejam pragmaticamente inúteis. Mas então por que
desde Frege a lógica simbólica usa a implicação material como operador? A
resposta é que ele serve à validade dos argumentos. Se precisarmos derivar
enunciados singulares de enunciados gerais, tudo o que precisamos é que não
aconteça do antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Esse é o
caso, por exemplo, da implicação (x) (Fx → Gx) ├ (Fa → Ga).
Finalmente, devemos notar que existe também
uma relação de implicação lógica,
diferente da implicação material. Trata-se do caso em que se o antecedente é
verdadeiro o consequente será necessariamente verdadeiro. Ela se dá em implicações
analíticas, como “Se essa figura é um triângulo, então ela precisa ter três
lados”.
Para a biimplicação ‘↔’ a tabela de verdade é:
j y j ↔ y
VV V
VF F
FV F
FF V
A tabela de verdade da biimplicação nos diz que j ↔ y
somente quando ambas as fórmulas constitutivas possuem o mesmo valor-verdade. A
biimplicaçao resulta da conjunção da implicação do consequente pelo consequente
e da implicação do consequente pelo antecedente: “(P → Q) ˄ (Q → P)”.
É interessante notar que a escolha das
constantes lógicas é em certa medida arbitrária. Podemos construir tudo apenas
com base em duas constantes, por exemplo, a negação e a conjunção, pois: ~(P ˄
~Q) tem a mesma tabela de verdade que P → Q como é mostrado a seguir:
~(P ˄ ~Q)
V
F
V
V
Como ~(~P ˄ ~Q)
tem a mesma tabela verdade que P ˅ Q e (P → Q) ˄ (Q → P) tem a mesma tabela
verdade que P ↔ Q, tudo pode ser construído apenas com a negação e a conjunção.
Finalmente, é
possível que tudo possa ser construído apenas com um símbolo, o símbolo de
Sheffer, que significa não ambos j e y e tem a forma de uma flecha dirigida para
cima ↑:
~P = P ↑ P
P → Q = P ↑ (Q↑Q)
P ˄ Q = (P↑Q) ↑(P↑Q)
P ˅ Q = (P↑P)↑(Q↑Q)
Um sistema
formal baseado apenas no símbolo de Sheffer seria apenas muito mais complicado
do que o baseado nos quatro conectivos lógicos usuais. Mas ele demonstra o quão
arbitrária é a escolha dos operadores. Finalmente, vale notar que por mais semanticamente
estranhos que possam parecer, os operadores da lógica simbólica clássica não
contradizem nossa linguagem natural. Se isso acontecesse a lógica não seria
mais capaz de refletir a estrutura muitas vezes oculta daquilo que pensamos e
dizemos, o que lhe acrescenta interesse filosófico.
Finalmente, enunciados
são chamados de contingentes quando
podem ser verdadeiros ou falsos, são chamados de tautologias quando só podem ser verdadeiros, e são chamados de contradições quando só podem ser falsos.
Quando a tabela de verdade mostra apenas verdades temos tautologias; quando
mostra apenas valores falsos temos contradição. Eis um exemplo de tautologia: (A
→ B) ↔ ~(A ˄ ~B). Ele é demonstrado pela seguinte tabela
de verdade:
AB A → B ↔ ~(A ˄ ~B)
VV V
V F V
FV
VF F
V F V
VF
FV V V V F FV
FF V V V V VF
|
|||
|
|||
Um outro ponto
importante é que podemos transformar qualquer argumento dedutivo em um condicional cujo antecedente é a
conjunção das premissas do argumento e cuja conclusão é a conclusão do
argumento. Se o condicional for tautológico, o argumento é válido. Exemplo:
1. Se o aluno estuda, então ele é
aprovado. A →
B
2. O aluno foi reprovado. ~B
3. Portanto: ele não estuda ~A
O
condicional será o seguinte: ((A → B) & ~B) → ~A. A tabela de verdade
mostra que se trata de uma tautologia. Com efeito, a tabela de verdade da
implicação só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente falso.
Mas a negação disso é precisamente a característica própria dos argumentos
válidos, que não podem ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. Por isso a
conjunção das premissas de um argumento válido implica forçosamente em sua
conclusão.
Mais um
exemplo:
1) Se João
publica, então é autor.
2) João
publica.
3)
Portanto, João é autor.
Formalizando,
fica assim: P → Q, P, ├ 3) Q
Transformando
em implicação, temos ((P → Q) & P) → Q. Este argumento é válido porque é
uma implicação tautológica como a sua tabela de verdade evidenciará.
DEDUÇÃO NATURAL:
Já vimos como podemos testar a validade de um
argumento construindo tabelas de verdade baseadas na semântica dos operadores
lógicos. Quando os argumentos se tornam mais complexos podemos demonstrar a
validade inferindo a conclusão das premissas em um número finito de passos
argumentativos utilizando regras de inferência. Podemos com dez regras
básicas demonstrar tudo o que é necessário no cálculo de enunciados de primeira
ordem; essas regras são as de introdução e eliminação dos cinco operadores. Vamos
começar introduzindo as oito regras mais fáceis:
1) ˄E = j & y ├ j
2) ˄I = j, y ├ j & y
3) ~E = ~~j ├ j
4) → E = Eliminação do condicional (modus
ponens) = j
→ y, j ├ y
5) ˅I = j
├ j v y
Exemplo: P, ~~(P → Q) ├ (R ˄ S) ˅ Q
Demonstração:
1 P Prem.
2 ~~(P → Q) Prem.
3 P → Q 2 ~E
4 Q 1,3 →E
5 (R ˄ S) ˅ Q 4
˅I
6) ˅E = Dado que j ˅ y e dado que podemos derivar c de j e c de y, podemos concluir c.
Exemplo: (P ˅ Q) ˄ R, P → S, Q → S ├ S ˅ T
Demonstração:
1 (P ˅ Q) ˄ R Prem.
2 P → S Prem.
3 Q → S Prem.
4 P ˅ Q 1 ˄E
5 S 2,3,4 ˅E
6 S ˅ T 5 ˅I
7) ↔E = (A↔ B) ├ (A→B) & (B → A)
8) ↔I = (A→B) & (B → A) ├ (A↔ B)
Agora iremos introduzir duas regras um pouco mais
difíceis, que são a da introdução da implicação e a da introdução da negação:
9) → I = Introdução do condicional: Introduz-se uma hipótese que, dadas as premissas, serve como condicional para uma
conclusão (também chamada de prova condicional ou PC). Por exemplo: Se você
continuar correndo o seu joelho não irá sarar. Se ele não sarar você não poderá
participar na corrida. Suponha, pois, que você continue correndo. Nesse caso
você não poderá participar da corrida!
Exemplo: P → Q,
Q → R ├ P → R
Demonstração:
Prem. 1 P →
Q
Prem. 2 Q → ~R
Prem. 3 P Hipótese para → I
4 Q
1,3 → E
5
~R 2,4 → E
6 P →
~R 3-5 →
I (PC)
10) ~I = Introdução da negação: Se de j podemos derivar y ˄ ~y, podemos
concluir ~j (também chamada de redução ao absurdo ou RA). Por exemplo: se faz sol
então é dia; não é dia; logo não faz sol. Se dados tais pressupostos
hipotetizarmos que faz sol, concluiremos que faz sol e não faz sol, o que torna
a hipótese absurda.
Exemplo: P → Q, ~Q ├ ~P
Demonstração:
1 P
→ Q Prem.
2 ~Q Prem.
3 P Hipótese para ~I
4 Q
1,3 → E
5 Q ˄ ~Q
3, 4 ˄I
6 ~P 3-5 ~I (prova do modus tollens)
Regras derivadas:
Qualquer instância de uma forma válida de argumento é
válida. Daí surgirem regras derivadas que simplificam o cálculo. Eis algumas
mais mais importantes:
Modus Tollens (MT): j → ~y
├ ~j
Silogismo hipotético (SH): j → y, y → c ├ j → c
Absorção (Abs): j → y ├ j → (j ˄ y)
Dilema construtivo: j v y ├ j→ c, y → w, ├ c ˅ w.
Repetição (R): j ├ y
Contradição (Con): j ˄ ~j ├ inferimos qualquer wwf
Silogismo disjuntivo (SD): j ˅ y, ~y ├ j
Podemos provar algumas wwf sem a necessidade de nenhuma premissa. Esses são os chamados
teoremas do cálculo proposicional. Em geral colocamos um martelo (turnstil) antes dele para indicá-lo.
Exemplo:
├ P → (P ˅ Q)
Prova desse teorema:
1. 
P H
P H
2. P ˅
Q ˅I
3. P →
P ˅ Q 1-2 (PC)
Outras regras adicionais são as muitas regras de equivalência derivadas
geralmente úteis no cálculo:
Lei de De Morgan (DM): ~(P ˄ Q) ↔(~P ˅ ~Q)
Lei de De Morgan (DM): ~(P ˅ Q) ↔ (~P ˄ ~Q)
Comutação (Com.) : (P ˅ Q) ↔ (Q ˅ P)
Comutação (Com.): (P ˄ Q) ↔ (Q ˄ P)
Associação (Ass.): (P ˅ (Q ˅ R)) ↔ ((P ˅ Q) ˅
R))
Associação (Ass.): (P ˄ (Q ˄ R)) ↔ ((P ˄ Q) ˄
R))
Distribuição (Distr.): (P ˄ (Q ˅ R)) ↔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄
R)
Distribuição (Distr.): (P ˅ (Q ˄ R)) ↔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅
R)
Dupla negação (DN): ~~P ↔ P
Transposição (Trans): (P → Q) ↔ (~P → ~Q)
Implicação material (IM): (P → Q) ↔ (~P ˅ Q)
Exportação (Exp.): ((P
˄ Q) → R) ↔ (P → (Q → R))
Tautologia (Taut.): P ↔ (P ˄ P)
Tautologia (Taut.): P ↔ (P ˅ P)
A dedução natural é importante para o cálculo, mas não
apresenta maior interesse filosófico.
==================
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 (para serem entregues em aula):
1. Considerando as definições dos 5 operadores
lógicos, determinar os valores-verdade dos seguintes fórmulas compostas por meio de tabelas de verdade:
1) P v ~P
2) P & ~P
3) P & ~Q,
4) ~P & ~Q
5) ~(P
& ~Q),
6) (P →
Q) & (Q → P)
7) (P v Q) & ~(P & Q)
Dizer com auxílio de tabelas de verdade se as fórmulas
seguintes são tautológicas, contraditórias ou contingentes:
1) A → B
↔ ~B → ~A
2) ~(A & B → A v B)
3) (A ↔ B) ↔ (A & B) v (~A & ~B)
Quanto ao argumento que se segue, 1) Formalizá-lo, 2)
transformá-lo em implicação e demonstrar que ele é válido ao mostrar pela
tabela de verdade se trata de uma implicação é tautológica:
1. Se chove as ruas ficam molhadas.
2. Chove.
3. Portanto: as chuvas estão molhadas.
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QUESTIONÁRIO 2 (para ser entregue em aula):
1. O que é um argumento válido? Por que esses argumentos são importantes para a lógica?
2. Dê um exemplo de um enunciado que fere o princípio da não-contradição.
3. O que é uma definição circular?
4. Se definimos um ‘Zoodoobedahh’ como um “milionário excêntrico e bêbado”, que tipo de definição é essa?
5. Qual a diferença entre vaguidade e ambiguidade?
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EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO 3 (para ser entregue em aula)
Faça os exercícios com base nas explicações do texto, usando
regras mais simples como as de eliminação da implicação (MP), de eliminação da
conjunção, de introdução da conjunção, eliminação da negação, introdução da
disjunção:
1) P, Q → R, P → Q ├ R
2) ~P → (Q → R), ~P, Q ├ R
3) P → (Q ˄ R), P ├ P ˄ Q
4) (P ˄ Q) → (R ˄ S), ~~P, Q ├ S
5) P, ~~(P → Q) ├ Q ˅ ~Q)
Com ˅E, a regra da eliminação da disjunção, além da
eliminação e introdução da biimplicação e outras regras acima, provar:
1) S ˅ D, S→ F, D →F ├ F
2) F ↔ (S ˅ F), S ├ F
3) P → Q, (P →Q) → (Q → P) ├ P ↔ Q
Com Prova condicional (→I) prove:
1) P ├ Q → (P ˄ Q)
Com redução ao absurdo (~I) prove:
1) P → Q, ~Q ├ ~P
2) ~(~P ˄ ~Q), ~P ├ Q
4. ENUNCIADOS CATEGORIAIS
Os
enunciados podem ser divididos da maneira que se segue:
Universais (ex: “Todo F é G”)
Gerais
Particulares
(ex: “Algum F é G”)
Enunciados
Singulares (ex: “a é F”)
A
distinção acima nos faz lembrar que muitos argumentos não dependem apenas dos operadores
ou conectivos até agora considerados, mas da estrutura interna dos enunciados,
e que os conectivos do cálculo dos enunciados tem a limitação de apenas relacionar
enunciados. Esses argumentos, que dependem da estrutura interna
dos enunciados, têm a ver com expressões como ‘todos’ e ‘alguns’. Considere o
seguinte exemplo:
1.
Alguns homens são
matemáticos.
2.
Todos os
matemáticos trabalham com números.
3.
Alguns homens
trabalham com números.
Esse
argumento é intuitivamente válido. O cálculo proposicional nos permitiria formular
o argumento acima como P, Q ├ R. Mas esse argumento é inválido: P e Q podem ser
verdadeiros e R falso.
Contudo,
com auxílio de ‘todos’ e ‘alguns’ podemos formular simbolicamente o argumento
acima de uma forma intuitivamente válida:
1.
Alguns F são G.
2.
Todos os G são H.
3.
Logo: Alguns F
são H.
Aqui
F = homens, G = matemáticos, H = trabalham com números. F, G e H são os
chamados termos gerais, termos de classe ou predicados. São expressões que podem ser as mais diversas,
conquanto possam ser aplicadas a mais de um objeto.
Como
exemplo, considere agora o seguinte argumento:
Todas
as aranhas tem oito patas.
Todos
os animais com oito patas são insetos.
Portanto:
Todas as aranhas são insetos.
Como
simbolizar? Aqui F = aranhas, G = tem
oito patas, H = são insetos.
1.
Todos os F são G.
2.
Todos os G são H.
3.
Logo: Todos os F
são H.
Os
termos gerais são muitas vezes relacionados por meio de quantificadores, que são operadores lógicos como ‘todos’
e ‘alguns’ expressando relações entre os conjuntos designados pelos termos
gerais ou termos de classe. Assim, um enunciado da forma “Todos os F são G” diz
que F é um subconjunto de G, ou seja, todo membro de F é também membro de G.
Por convenção, em enunciados da forma
“Alguns F são G” são em lógica entendidos, não no sentido usual de que mais do
que um F é G, mas no sentido de que ao menos um F é G. Além disso, eles
são entendidos no sentido em que se admite ser possível que todos os F sejam
G. Pode ser, pois, que somente uma mala na esteira seja vermelha e que todas
as casas e minha rua sejam brancas. Quanto a termos como ‘é’, ‘são’,
que ligam os termos gerais, eles são chamados de cópulas. Chamamos de enunciado
categorial aquele que contém dois
termos gerais ligados por uma cópula.
No enunciado categorial o primeiro termo
geral se chama sujeito e o segundo predicado. Assim, chamando S de sujeito e P
de predicado temos as seguintes formas de enunciado categorial:
A Todos
os S são P.
E Nenhum S é P.
I Alguns
S são P.
O Alguns
S não são P.
Importante é perceber o uso da palavra
‘não’. Quanto o ‘não’ é aplicado a uma sentença
inteira ele exprime a negação
lógica: ele torna falso o que é verdadeiro e verdadeiro o que é falso. Mas
quando o ‘não’ vem antes do predicado,
ele tem uma função modificadora: ele modifica um termo de classe ou
geral para introduzir um novo termo de classe ou geral. Por exemplo: “Algumas casas
não são brancas”. Aqui o ‘não’ apenas modifica
a classe referida pelo predicado, que passa a ser de tudo aquilo que não é branco. Geralmente o conjunto de todas as
coisas que não são membros do conjunto S são o complemento de S. Por
isso o “não” pode exprimir negação mas também mera complementação.
Há casos de ambiguidade no uso do “não”, por
exemplo:
Todos os homens não são racionais.
Pode
ser interpretado como dizendo “Não é o caso que todos os homens são racionais”
(não da negação) e também como dizendo “Todos os homens são não-racionais” (não
da complementação).
Os
prefixos “não-“, “im-“, “ir-“ geralmente exprimem o não da complementação, por
exemplo, na frase “Todos os homens são irracionais”, mas nem sempre. Note-se
que enquanto “Alguns S não são P” tem e forma O, “Alguns S são não-P” enfatiza
a forma I.
Inferências imediatas são argumentos de
uma premissa e uma conclusão, ambos sendo enunciados categoriais. Por exemplo:
~(Todo S é P) ↔ Algum S é não-P,
donde
um implica na negação do noutro, e
Todo S é P ↔ ~(Algum S é ~P),
donde
um também implica no outro.
Enunciados da forma A e O com os mesmos
termos são contraditórios: Se um é verdadeiro o outro é falso e
vice-versa. Da mesma forma, enunciados da forma E e I com os mesmos termos implicam
na contradição um do outro:
~(Todo S é P) ↔ Algum S é não-P
~(Algum S é P) ↔ Nenhum S é P.
~(Algum S é P) ↔ Nenhum S é P.
Existem ainda inferências imediatas conversas,
quando o sujeito troca de lugar com o predicado: “Alguns S são P” e “Alguns P
são S”. Elas são válidas para as formas E e I:
Para E: Nenhum S é P ↔ Nenhum P é S.
Para I: Algum
S é P ↔ Algum P é S.
Dois enunciados categóricos são contrapositivos
se um resulta do outro pela reposição do termo sujeito pelo complemento de seu
termo predicativo e pela reposição de seu termo predicativo pelo complemento de
seu sujeito. Exemplo:
Todos os S são P ↔ Todos os não-P são não-S
são
contrapositivos. Esse é mais um exemplo de inferência imediata.
As quatro formas básicas de enunciado
categorial podem ser classificadas em termos quantitativos e qualitativos.
Quantitativamente são universais e particulares, qualitativamente
são afirmativos e negativos (A e I de afirmo e E e O de nego):
A
Universal afirmativo
E
Universal negativo
I
Particular afirmativo
O
Particular negativo
O último tipo de inferência imediata é a obversão.
Ela consiste na mudança na qualidade
do enunciado categórico (mantendo a mesma quantidade) enquanto substituindo o
predicado pelo seu complemento. Por
exemplo:
Nenhum
S é P ↔ Todo S é não-P.
A lógica aristotélica difere da
contemporânea no fato de que nela os conjuntos nunca são vazios. A admissão de
predicados com conjuntos vazios simplifica a lógica.
Na lógica aristotélica os silogismos tinham
duas premissas e uma conclusão. As premissas tinham o chamado termo médio, que aparece em ambas as
premissas e o termo maior que aparece na primeira
premissa e na conclusão. Por exemplo:
Todos os homens são mortais.
Todos os gregos são homens.
Todos os gregos são mortais
Aqui o termo médio é ‘são homens’ e o termo
maior é ‘são mortais’. Dependendo da distribuição do termo médio se produziam
quatro figuras silogísticas, havendo dentro de cada figura várias formas, já
que os juízos podem se diferenciar segundo a qualidade e quantidade...
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