sábado, 3 de janeiro de 2015

LÓGICA EM FILOSOFIA: (texto introdutório)

DRAFT


Apostila
 Material auxiliar - ppgfil/UFRN





LÓGICA EM FILOSOFIA












1

 INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS



Quero começar expondo algumas noções básicas que possuem utilidade propedêutica para estudantes de cursos de filosofia.



1. ARGUMENTO

A primeira noção a ser considerada é a de sentença, que é um conjunto unificado de símbolos. Uma sentença é pode ser afirmativa, interrogativa, um comando, uma exclamação... casos nos quais não será nem verdadeira nem falsa. O que nos interessa aqui são as sentenças assertivas. Uma sentença assertiva é a que exprime uma proposição, que pode ser definida como aquilo que a sentença diz, o sentido, pensamento, ou conteúdo semântico por ela expresso. Característico da proposição assim considerada é que ela pode ser verdadeira ou falsa. Ao conjunto da sentença assertiva com a proposição por ela expressa iremos chamar de enunciado.
     Um argumento é uma sequência de enunciados na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são as premissas, as quais servem de evidência para a conclusão. Exemplo de argumento:

       (1)
       Todos os homens são mortais. (primeira premissa)
       Sócrates é homem (segunda premissa)
       Portanto: Sócrates é mortal (conclusão)

     O raciocínio é o argumento pensado enquanto o argumento é o raciocínio linguisticamente expresso.
     A lógica estuda os argumentos; ela pode ser definida como o estudo da relação formal entre as premissas e a conclusão dos argumentos.
     Existem dois tipos de argumento: os dedutivos e os indutivos. Vejamos primeiro os argumentos dedutivos. Os argumentos dedutivos se definem como aqueles nos quais se todas as premissas forem verdadeiras a conclusão terá de ser verdadeira. Ou, o que vem a dar no mesmo, aqueles nos quais é (logicamente) impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa. Uma característica suplementar é que neles a conclusão já vem implícita nas premissas.
     No argumento dedutivo a verdade das premissas garante a verdade da conclusão, não sendo possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Isso significa que, dada a verdade das premissas, a conclusão passa a ter probabilidade 1 (probabilidade de 100% de ser verdadeira). O argumento apresentado no exemplo (1) é dedutivo, pois a conclusão de que Sócrates é mortal já estava implícita nas premissas. Além do mais ele é válido, pois se for verdade que todos os homens são mortais e que Sócrates é homem, se torna necessariamente verdadeiro que ele é mortal.
     Devido ao fato de a conclusão já se encontrar de algum modo implícita nas premissas, o argumento dedutivo não é capaz de ampliar o nosso conhecimento. Considere outra vez o exemplo (1). A conclusão de que Sócrates é mortal já vem implícita nas premissas, que dizem que ele é homem e que todos os homens são mortais. Esse fato deixa de parecer óbvio em argumentos mais complexos.
     O argumento dedutivo é chamado de válido quando, sendo as suas premissas verdadeiras a sua conclusão é necessariamente verdadeira. A definição de validade é na verdade redundante, servindo apenas para distinguir a classe dos argumentos dedutivos da classe dos argumentos aparentemente dedutivos. Eis um exemplo de argumento aparentemente dedutivo (inválido):

     (2)
     Todos os homens são mortais.
     Sócrates é mortal.
     Portanto: Sócrates é homem.

      É inválido porque se Sócrates fosse um cão as premissas seriam verdadeiras e a conclusão falsa. É crucial entender que a validade do argumento não depende da verdade das premissas. Argumentos válidos com premissas verdadeiras são chamados de corretos (sound). Considere o argumento:

      (3)
      Todos os ratos são cães.
      Todos os cães comem gatos.
      Portanto: todos os ratos comem gatos.

     Esse argumento é válido, pois se as premissas forem verdadeiras, a conclusão será verdadeira. Se fosse o caso que os ratos fossem cães e comessem gatos, então os ratos comeriam gatos. Mas como isso não é o caso, ele não é correto. A lógica não se interessa pela correção dos argumentos, mas pela validade deles. Ela se interessa pela forma dos argumentos capazes de transmitir verdade das premissas para a conclusão. Em filosofia não nos interessamos apenas pela validade de nossos argumentos, mas também pela sua correção, o que filósofos formalistas extremados (os logicósofos) costumam esquecer.
     Vejamos agora os argumentos indutivos. Eles podem ser definidos como aqueles em que a conclusão contém conteúdo que não está implícito nas premissas, sendo, pois, capaz de ampliar nosso conhecimento. Neles a verdade das premissas não torna (logicamente) necessária a verdade da conclusão. Neles a verdade das premissas dá à conclusão um grau de probabilidade que é sempre menor do que 1 (menor do que 100%). Quando a probabilidade da conclusão é maior do que 0,5 (maior do que 50%) dizemos que o argumento indutivo é forte (ou válido). Nesse caso ele torna a verdade da conclusão provável. Exemplo:
            
                  (4)
                  O sol sempre nasceu a cada dia.
                  Portanto: o sol também nascerá amanhã.

     O argumento indutivo pode ter a conclusão falsa, mesmo sendo as suas premissas verdadeiras. É perfeitamente possível, embora improvável, que o sol não nasça amanhã. Quando a probabilidade da conclusão do argumento indutivo é menor do que 0,5, dizemos que o argumento é indutivamente fraco (ou inválido). Eis um exemplo:

                  (5)
                 Alguns brasileiros gostam de picles.
                 João é Brasileiro,
                 Portanto: João gosta de picles.


     Note-se que a força de um argumento indutivo pode variar com a adição de novas evidências. Um argumento indutivo deve conter todas as premissas relevantes para a sua conclusão. Se no argumento (4) a premissa “Esta tarde o planeta errante Melancholia irá colidir com a terra” estivesse sendo suprimida, o argumento seria indutivamente fraco. A supressão de premissas relevantes para um argumento indutivo se chama de falácia a evidência suprimida.
   Argumentos também podem ser relevantes ou não. Um argumento é relevante quando as premissas são relevantes para a conclusão. Um argumento é bom quando é dedutivamente válido e relevante ou quando é indutivamente forte. Eis um exemplo de argumento válido, mas sem relevância:

               (6)
               Alguns mosquitos picam.
               Alguns mosquitos não picam.
               Todas as coisas são idênticas a elas mesmas.

     Curiosamente, esse é um argumento dedutivo válido. A validade decorre do fato de que as premissas são verdadeiras e a conclusão é um enunciado necessariamente verdadeiro. Mas a conclusão “Todas as coisas são idênticas a elas mesmas” é necessariamente verdadeira por si mesma, ela não resultando aqui da verdade das premissas, sendo essa conjunção de verdades mera coincidência. Esse argumento é válido, mas não é relevante, pois a relevância se mede pelo quanto a verdade das premissas importa para a verdade da conclusão, e aqui elas não parecem importar nem um pouco.


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Exercício I
Classifique cada um dos seguintes argumentos em dedutivo ou indutivo, correto ou incorreto. Se indutivo, diga se é forte ou fraco. Diga se o argumento for irrelevante.

(1)
      Nenhum ser humano tem 10 metros de altura.
João é um ser humano.
Portanto: João não pode ter dez metros de altura.

(2)
Geralmente faz calor em Mossoró.
Está fazendo calor em Mossoró.

(3)
Alguns porcos tem asas.
Todas as coisas aladas gorjeiam
Portanto: Alguns porcos gorjeiam.

(4)
João está lendo Proust.
Portanto: João tem mais de um mês de idade.

(5)
Deus fez o universo.
Deus é perfeitamente bom.
Se Deus é perfeitamente bom então ele não permite o mal.
Portanto: não existe o mal no universo.

(6)
O céu está carregado de nuvens negras.
Se chover não haverá piquenique.
Portanto: parece que não haverá piquenique.

(7)
Uma vez olhei para um sapo e no mesmo dia quebrei o dedo.
Olhar para um sapo dá azar.

(8)
7 + 2 = 9
1 + 1 = 2
Portanto: 2 + 2 = 2 x 2

(9)
5 > 2
8 > 5
Portanto 8 > 2

          (10)
          Nenhum ser humano tem mais de 150 anos.
          Portanto: nenhum ser humano vivo viverá mais de 150 anos.

         (11)
         Todos os homens são mortais.
         Silver (o cavalo de Zorro) é mortal.
         Portanto: Silver é um homem.

         (12)
         Um fóssil não pode ser enganado no amor.
         Uma ostra pode ser enganada no amor.
         Portanto: ostras não são fósseis.




Respostas do exercício I:
(1) dedutivo, correto (sound), relevante; (2) indutivo, forte, relevante; (3) dedutivo, incorreto (unsound); (4) indutivo forte; (5) dedutivo, correto, pouco relevante; (6) indutivo forte, bom; (7) indutivo fraco, mau; (8) dedutivo, correto, irrelevante. (9) dedutivo, correto, relevante. (10) indutivo, correto, bom. (11) Dedutivo, inválido, incorreto (12) dedutivo válido incorreto.



2. DEFINIÇÃO

Outro conceito importante é o de definição. Uma definição é a especificação do significado ou do conteúdo conceitual de uma expressão.
     Há muitas formas de definição, algumas delas são as seguintes:

1. Definição ostensiva: é o simples apontar para o objeto ou mostrar o objeto ao qual o termo se aplica. É muito usada pelos pais quando eles ensinam o significado de nomes comuns aos filhos.
    São possíveis enganos no aprendizado, mas esses enganos podem ser corrigidos em experiências de re-identificação interpessoal.

2. Definição verbal extensional. Os termos de nossa linguagem possuem intensão e extensão. A extensão de um termo é o conjunto dos objetos aos quais o termo se aplica. Assim, a extensão do termo ‘cão’ é o conjunto de todos os cães e a extensão do termo ‘aluno’ é o conjunto de todos os alunos.
    A definição ostensiva é uma definição não-verbal extensional. Por exemplo: essa é a famosa torre Eiffel. A definição verbal extensional é a que nomeia verbalmente os membros do conjunto, ao invés de apontar para eles. Exemplo: Mônica tem três galinhas, cujos nomes são Anita Garibaldi, Tarsila do Amaral e Clarice Lispector (exemplo pueril).
     3. Definição intensional. A intensão de um termo é o conjunto de todas as propriedades que uma coisa precisa necessariamente ter para que o termo se aplique a ela. A intensão determina a extensão. Quando uma definição intensional explícita de um termo é dada, uma frase cujo significado equivale ao do termo é enunciada. Por exemplo: (Df.) ‘solteiro’ = uma pessoa adulta, de sexo masculino, não-casada. Há dois tipos de definição intencional mais importantes:
a) Definição que mostra como uma palavra é comumente usada: é o caso de definições de dicionário em geral, chamadas de definições lexicais. Esse é também o caso de definições ditas reais, que intentam descobrir a essência, ou seja, condições metafisicamente necessárias para que algo seja uma coisa nomeada pelo termo que se quer definir.
    Uma forma clássica de definição real é a aristotélica, na qual o definiendum (aquilo que se quer definir) é explicado pelo definiens (o que define); o definiens é constituído por um gênero próximo (distintivo da classe mais próxima à qual pertence) e por uma diferença específica (distintivo da classe que o caracteriza). Por exemplo:

1)    homem (definiendum) = animal (gênero próximo) racional (diferença específica) (definiens);
2)    casa (definiendum) = abrigo (gênero próximo) para seres vivos (diferença específica).

     Definições reais e as definições em geral devem satisfazer as três condições seguintes:

(1) Elas devem dizer o que a coisa é e não o que ela não é. Ela não deve ser nem estreita nem larga demais, ou seja, deve enunciar as propriedades de todos os membros de sua classe extensional e somente desses membros.
Exemplos de definições largas demais: Faca = instrumento para cortar. É larga demais, pois uma tesoura é um instrumento para cortar e não é uma faca. Homem = bípede implume. Também é larga demais, pois é possível que existam bípedes implumes que não sejam homens, como a galinha depenada.
Exemplos de definições estreitas demais: Mesa = uma peça de mobília que tem um tampo horizontal e quatro pernas. Ela é estreita demais, pois há mesas de três pernas. Solteiro = estudante adulto não casado. É estreita demais, pois cobre menos que a extensão dos solteiros.
Há definições que são demasiado estreitas e largas ao mesmo tempo. Exemplo: Gato = animal doméstico. É larga porque cães também são animais domésticos e ao mesmo tempo estreita porque gatos selvagens também são gatos.
(2) O definiens deve ter uma vaguidade idêntica a do que se quer definir. Por exemplo, “Mulher = fêmea humana adulta”, está certo. Mas a definição “Mulher = fêmea humana de mais de 18 anos” é uma em que o definiens é demasiado preciso.
(3) Uma definição não pode ser circular. Definição circular é aquela que incorpora parte do definiendum no definiens. Exemplos: gramínea = qualquer planta verde que é comida por animais gramíneos; Sonífero = medicamento com virtude dormitiva.

     b) Definição que introduz uma nova palavra na linguagem: Novas situações podem exigir a introdução de novas palavras, por exemplo, ‘astronauta’ = pessoa treinada para dirigir foguetes no espaço (de astro = estrela, nauta = marinheiro). Tais definições são chamadas de estipulativas. Elas evidenciam o caráter convencional da linguagem. Exigências: (i) não podem ser palavras que já tem um sentido standard amplamente aceito (Humpty-Dumpty). (ii) Precisa ser uma adição útil (o uso de jargão especializado desnecessário apenas dificulta o entendimento pelo leigo).
     c) Definições que reduzem a vaguidade. Outro caso é o de redefinições de termos ordinários que reduzem a sua vaguidade para fins práticos. Um caso de definição que tipicamente reduz a vaguidade é o das assim chamadas definições teoréticas, que envolvem o compromisso com uma teoria. (Teoria = crença geral que é expressa em um conjunto de enunciados sobre a natureza do objeto.) Ex: pessoa morta = aquela cujas funções cerebrais cessaram. Envolve teoria sobre o caráter da vida humana. Ex: momento = produto da massa pela velocidade do corpo.
     4. Definições operacionais (instrumentais): Bridgman e outros buscaram definir termos especificando os procedimentos empíricos nos quais eles são envolvidos. Exemplos: “Essa chama é azul = essa chama tem comprimento de onda entre 4,2 e 4,6 angstroms”; “Essa substância é solúvel em água = se colocada dentro d´água ela se dissolve.”  Torna-se problemática quando se trata de termos altamente teóricos, como elétron, que demandam teorias sofisticadas para seu entendimento.




3. VAGUIDADE

Há outros conceitos importantes que precisam ser introduzidos como o de vaguidade. Uma expressão é vaga se ocorrem casos limítrofes para a sua aplicação. Exemplos: calvo, velho, rico, feliz... Vaguidade também surge quando existe uma variedade de critérios de aplicação para um termo. Exemplo: religioso. Para esse conceito há vários critérios: (i) crente em um Deus pessoal, (ii) membro de uma seita, (iii) seguidor de um código de valores, (iv) piedoso, (v) reverente para com outros seres vivos e para com o universo. Outro exemplo é a palavra ‘jogo’: do jogo de futebol ao jogo de xadrez e ao jogo de solitário existem múltiplos tipos. Wittgenstein famosamente usou para casos como esse a expressão “semelhanças de família”: membros de uma grande família têm diferentes traços comuns que os ligam entre si.
   As linguagens formais da lógica e da matemática não são vagas. Mas a linguagem empírica dependente da experiência é quase que inevitavelmente vaga. Já foi até sugerido que a linguagem empírica é vaga porque a vaguidade é uma característica metafísica do mundo real (Inwagen).
    A vaguidade pode ser importante na conversação social (ex: “Vemo-nos logo”, sem se dizer quando), pois permite deixar em aberto coisas que não é de bom alvitre precisar. A vaguidade também é importante na diplomacia internacional (ex: “O governo deverá tomar medidas fortes no caso de violação de fronteiras”, sem que se diga que medidas), evitando detalhes cuja consideração é indesejável.
     A vaguidade precisa ser distinguida da ambigüidade, que é a propriedade de um conceito de ser entendido de duas ou mais maneiras. A ambigüidade pode ocorrer em qualquer nível de significado da linguagem, frases, parágrafos, livros... sendo responsável pela múltipla interpretabilidade de certos textos literários.  Exemplo: a palavra ‘banco’ pode significar uma instituição financeira ou então algo muito diferente, que é um banco para se sentar. Muitas palavras são ambíguas e também vagas. 


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Questões:
Encontre (i) um exemplo de palavra vaga, (ii) um exemplo de palavra ambígua, (iii) um exemplo de palavra vaga e ambígua.





4. AS TRÊS “LEIS DO PENSAMENTO”

A lógica já foi definida como o estudo das leis do pensamento, o que não é exato, pois como pensamentos são atos mentais, ela pode nos fazer confundir lógica com psicologia. Contudo, há tradicionalmente três assim chamadas leis ou princípios fundamentais de todo o ser ou pensamento que em filosofia vale lembrar.
     O primeiro é o princípio da identidade. Em sua versão ontológica ele diz que uma coisa é sempre igual a ela mesma e em sua versão epistêmica diz que uma coisa é sempre pensada como igual a ela mesma. Ele pode ser formulado como:

“Se algo é A é A” ou “A = A”.

    O segundo princípio é o da não-contradição (ou contradição). A sua formulação ontológica é:

1)    “Nada pode ser A e não ser A ao mesmo tempo e sob a mesma perspectiva”.
2)     Ele também pode receber a seguinte formulação epistêmica: “Não se pode pensar A de algo (predicar) e negá-lo (negar a predicação) ao mesmo tempo e sob a mesma perspectiva.
3)     Ele pode finalmente receber uma formulação lingüística: um enunciado não pode ser verdadeiro e falso. Formalmente: ~(A ˄ ~A). Exemplo: uma flor não pode ser e não ser vermelha ao mesmo tempo e sob a mesma perspectiva.

   Aristóteles foi quem primeiramente formulou e discutiu esse princípio em sua Metafísica. Segundo esse autor, “o mesmo ao mesmo e na mesma relação não se pode aplicar e não aplicar” (1005b 19s). Não se pode provar esse princípio, pois ele é pressuposto por qualquer prova. Mas ele mostra que podemos prová-lo indiretamente, reduzindo ao absurdo a sua negação. Negar tal princípio é realizar uma asserção meramente verbal, não acompanhada de pensamento, pois basta pensar alguma coisa para pressupor o princípio. Quem nega tal princípio, escreve Aristóteles, deve ficar mudo como um tronco de árvore, pois se abrir a boca irá se contradizer. É importante a adição “...ao mesmo tempo e sob a mesma perspectiva (ou aspecto ou ponto de vista)”. Digamos que alguém afirme que Teeteto está sentado e, logo a seguir, Teeteto se levanta e alguém afirme que Teeteto não está sentado. Isso não contradiz o princípio, pois Teeteto está sentado e de pé em tempos diferentes. Da mesma forma um objeto pode parecer amarelo e não parecer amarelo, mas, digamos, branco, quando visto sob perspectivas diferentes, o que também não contradiz o princípio.
   Uma objeção ao princípio poderia ser a de que não podemos então aplicar duas predicações diversas a um mesmo objeto, por exemplo, dizer que ele é azul e dizer que ele é anguloso. Mas essa objeção resulta de se confundir diferentes âmbitos de incompatibilidades (Strawson). Dois predicados F e G pertencem ao mesmo âmbito de incompatibilidades se ao dizer “a é F” eu não posso dizer “a é G”. Por exemplo, se digo que o objeto a é azul, não posso dizer que ele é verde, vermelho, amarelo... pois esses predicados pertencem ao mesmo âmbito de incompatibilidades. Mas posso dizer que a é azul e ao mesmo tempo que a é anguloso sem com isso cair em contradição.[1]
    Finalmente, há o princípio do terceiro excluído ou da bivalência, que em sua formulação ontológica afirma que:

Cada coisa ou é A ou não é A, não podendo haver uma terceira possibilidade.

 Linguisticamente, este princípio pode ser expresso dizendo-se que um enunciado ou é verdadeiro ou é falso, não havendo uma terceira possibilidade. A versão formal do princípio do terceiro excluído: “A ˅ ~A”. Exemplos: “Uma coisa ou é uma flor ou não é uma flor, não podendo ser uma terceira”.
     Parece haver aqui um problema com respeito a vaguidade. O que dizer de casos intermediários como o de uma coisa que não é amarela nem chega a ser laranja, deixando, pois, de ser amarela, mas que é de um amarelo meio alaranjado... Ao que parece o enunciado “Essa coisa é amarela” não chega a ser verdadeiro nem falso. Uma resposta é dizer que um suposto pensamento ou proposição que não seja realmente nem verdadeiro nem falso não seja apto a formar um juízo, um enunciado, uma asserção, e que nossa lógica deve excluir enunciados ou proposições ou pensamentos desse tipo por serem inúteis e incapazes de dizer alguma coisa sobre o mundo.
     Pode-se defender que há uma ordem de pressuposição entre os três princípios: o princípio da identidade ou “A = A” afirma que uma coisa é ela mesma. O princípio da não-contradição ou “~(A ˄ ~A)” afirma que – sendo uma coisa ela mesma – ela não pode não ser ela mesma (quando a pensamos como sendo ela mesma, não podemos pensá-la como sendo outra coisa). Já “A ˅ ~A” afirma que, sendo uma coisa ela mesma e não podendo não ser ela mesma, ela não pode ser uma terceira coisa que esteja entre ser e não ser ela mesma. Em termos formais podemos dizer que (A ↔ A) → ~(A ˄ ~A) → (A ˅ ~A), o que a tabela de verdade demonstra ser uma tautologia de lógica clássica.
   As leis do pensamento eram consideradas por Aristóteles princípios metafísicos pelo fato de se aplicarem à totalidade do real. A metafísica é a ciência que estuda o “ser enquanto ser”, ou seja, as propriedades concernentes a tudo o que é – a tudo o que existe, tanto no âmbito do físico quanto do mental. O universo, na medida em que é compreensível, é compreensível porque tudo nele segue as leis do pensamento como o princípio da contradição. Sendo assim então a lógica, ao menos em seus fundamentos, pertence à metafísica, pois é um pressuposto tanto de todos os objetos das ciências particulares quanto de todo o pensamento sobre esses objetos.
   Além disso, se considerarmos que a lógica é omniabrangente, desaparece a razão para pensarmos que ela deva transcender o mundo empírico. A razão usual para dizermos que um conhecimento não é empírico é que ele pode ser falseado por matérias de fato empíricas. Mas o conhecimento de algo empiricamente omniabrangente, aplicando-se a tudo, não pode ser falseado por nada que seja empírico, mesmo sendo empírico. O próprio fato do mundo existir demonstra a sua validade.
   Ressoando o insight aristotélico, Wittgenstein sugeriu em seu Tractatus Logico-Philosophicus que para existir representação é necessário minimamente que a forma lógica seja aquilo que existe em comum entre o que representa e o que é representado.




(O que se segue é uma adaptação de Logic: a quick way to the first rates.)




2

CÁLCULO PROPOSICIONAL


Há argumentos cuja validade depende apenas das relações entre as proposições e o cálculo que justifica a sua validez é chamado de cálculo proposicional. Usamos letras maiúsculas para enunciados. As letras sentenciais são combinadas pelos assim chamados operadores ou conectivos lógicos. Eles costumam ser cinco: ~ (não) ˅ (ou) ˄ (e) → (se... então) ↔ (se e somente se).

Sintaxe
Uma fórmula da linguagem proposicional é qualquer sequência de símbolos do vocabulário lógico. Mas há fórmulas sem sentido, como →˅AB e fórmulas que tem sentido, como A → B e que são chamadas de fórmulas bem formadas. Há quatro regras de formação que aplicadas recursivamente permitem estabelecer qualquer fórmula bem formada de nossa linguagem. Usando letras gregas para denotar fórmulas arbitrárias temos:

1.     Qualquer letra sentencial é uma wff.
2.     Se j é uma wff, então ~ j é uma wff.
3.     Se j e y são wff, então ( j ˅ y ) (j ˄ y) (j y ) e (j y) são wff.
4.     Qualquer coisa que não resulta da aplicação das regras 1-3 não é uma wff.

   Essas fórmulas estabelecem a sintaxe do cálculo proposicional. Assim, por exemplo, ~(j y) é uma fórmula bem formada pela aplicação da regra 1 à fórmula bem formada (j y ). Não há limite para as combinações possíveis.


Parênteses:
Os parênteses determinam o que tem primazia no cálculo. Para se diminuir o número de parênteses, dá-se aos operadores do cálculo proposicional pesos e se elimina os parênteses externos. Assim, sendo os operadores ~ ˅ ˄ → ↔, o peso aumenta da esquerda para a direita, sendo o menor deles o da negação e o maior deles o da biimplicação. Para dar um exemplo, a fórmula “~p ˅ q ˄ r → s ↔ t” se for lida como “(((~p) ˅ q) ˄ r) → s) ↔ t” não precisa de parêntesis.


Semântica:
A semântica de uma expressão é a sua contribuição para o valor-verdade (verdadeiro ou falso) do enunciado composto em que ela ocorre. A semântica de um operador lógico é dada por uma regra determinando o valor-verdade de qualquer sentença composta envolvendo o operador a partir do valor-verdade de seus componentes. Ao fazermos isso assumimos o princípio da bivalência, segundo o qual os enunciados são sempre ou verdadeiros ou falsos. O primeiro procedimento de decisão é a tabela de verdade. Usando as abreviações V para verdadeiro e F para falso podemos estabelecer as definições semânticas de cada operador através de tabelas de verdade. Para a negação a tabela de verdade é:

    j   ~j
    V     F
    F     V


   A negação é um operador monádico, que produz um novo enunciado a partir de um enunciado já existente. Os outros conectivos são diádicos, ou seja, eles relacionam enunciados entre si. Para ˅ a tabela de verdade é:

   jy   j   ˅    y
   VV       V
   VF        V
   FV        V
   FF         F


   É preciso notar que a disjunção geralmente utilizada em lógica é uma disjunção inclusiva, pois mesmo nos casos em que ambos os enunciados sejam verdadeiros o resultado será verdadeiro. Há exemplos disso na linguagem ordinária: “Eu vou a Paris ou vou visitar a torre Eiffel”. Mais comum, porém, é a disjunção exclusiva: “Depois do jantar vou ao cinema ou vou ao teatro”, pois nesse caso é falso que os dois enunciados sejam conjuntamente verdadeiros.
   Para ˄ a tabela de verdade é:


  jy   j   ˄   y
  VV       V
  VF           F
  FV           F
  FF         F


O ˄ é muito parecido com o ‘e’ da linguagem ordinária, mas difere pelo fato de que na linguagem natural os enunciados unidos por um ‘e’ costumam estar relacionados entre si. Não faz muito sentido dizer “Natal é uma cidade e peixes são animais aquáticos” a menos que se queira relacionar uma coisa com a outra.
   Para o condicional ‘→’ chamado de “implicação material”, a tabela de verdade é:

   jy   j      y
   VV         V
   VF          F
   FV       V
   FF       V

Importante aqui é que o único resultado falso é aquele no qual o enunciado antecedente é verdadeiro e o consequente falso. Mas todas as combinações possuem menos do que aquilo que é pressuposto quando falamos de implicação na linguagem natural. Primeiro, “Se o Brasil é um país então peixes são animais aquáticos” é uma implicação verdadeira, pois tanto o antecedente quanto o consequente são verdadeiros; mas soa estranho, pois na linguagem natural esperamos que o antecedente tenha algo a ver com o consequente. Vejamos a terceira combinação de valores: “Se existem quadrados redondos então os peixes são animais aquáticos”. O antecedente é falso e o consequente verdadeiro: portanto, o enunciado condicional é verdadeiro. Nossa intuição não confirma que se existem quadrados redondos então os peixes são animais aquáticos; mas ela também não contraria esse resultado. Vejamos agora o seguinte exemplo da última combinação: “Se quadrados são redondos então uma coisa é diferente de si mesma”. Como antecedente e consequente são falsos, o condicional é verdadeiro. Aqui também nada há de intuitivo no resultado. Tudo o que podemos dizer é que esse resultado ao menos não contradiz as intuições de nossa linguagem natural. O fato é que na linguagem natural assumimos que deva haver alguma relação entre antecedente e consequente, por exemplo, uma relação causal, quando se diz “Se a água está fervendo então ela deve estar a 100º C”, ou alguma outra relação associativa, como quando se diz “Se o ônibus está estacionado então os passageiros devem estar no restaurante”. ou ainda uma relação analítica, como quando se diz “Se hoje é sexta amanhã é sábado”. Contudo, embora a implicação material não seja respaldada pela linguagem natural, como a linguagem natural não as rejeita, ela não deixa de estar contida de modo muito genérico na linguagem natural, embora sejam pragmaticamente inúteis. Mas então por que desde Frege a lógica simbólica usa a implicação material como operador? A resposta é que ele serve à validade dos argumentos. Se precisarmos derivar enunciados singulares de enunciados gerais, tudo o que precisamos é que não aconteça do antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Esse é o caso, por exemplo, da implicação (x) (Fx → Gx) ├ (Fa → Ga).
   Finalmente, devemos notar que existe também uma relação de implicação lógica, diferente da implicação material. Trata-se do caso em que se o antecedente é verdadeiro o consequente será necessariamente verdadeiro. Ela se dá em implicações analíticas, como “Se essa figura é um triângulo, então ela precisa ter três lados”.

Para a biimplicação ‘↔’ a tabela de verdade é:

  j y   j  ↔  y
  VV       V
  VF        F
  FV        F
  FF        V

A tabela de verdade da biimplicação nos diz que j  ↔  y somente quando ambas as fórmulas constitutivas possuem o mesmo valor-verdade. A biimplicaçao resulta da conjunção da implicação do consequente pelo consequente e da implicação do consequente pelo antecedente: “(P → Q) ˄ (Q → P)”.
   É interessante notar que a escolha das constantes lógicas é em certa medida arbitrária. Podemos construir tudo apenas com base em duas constantes, por exemplo, a negação e a conjunção, pois: ~(P ˄ ~Q) tem a mesma tabela de verdade que P → Q como é mostrado a seguir:


                                                ~(P ˄ ~Q)
                                                      V
                                                      F
                                                      V
                                                      V

   Como ~(~P ˄ ~Q) tem a mesma tabela verdade que P ˅ Q e (P → Q) ˄ (Q → P) tem a mesma tabela verdade que P ↔ Q, tudo pode ser construído apenas com a negação e a conjunção.
   Finalmente, é possível que tudo possa ser construído apenas com um símbolo, o símbolo de Sheffer, que significa não ambos j e y e tem a forma de uma flecha dirigida para cima ↑:

~P = P ↑ P
P → Q = P ↑ (Q↑Q)
P ˄ Q = (P↑Q) ↑(P↑Q)
P ˅ Q = (P↑P)↑(Q↑Q)

   Um sistema formal baseado apenas no símbolo de Sheffer seria apenas muito mais complicado do que o baseado nos quatro conectivos lógicos usuais. Mas ele demonstra o quão arbitrária é a escolha dos operadores. Finalmente, vale notar que por mais semanticamente estranhos que possam parecer, os operadores da lógica simbólica clássica não contradizem nossa linguagem natural. Se isso acontecesse a lógica não seria mais capaz de refletir a estrutura muitas vezes oculta daquilo que pensamos e dizemos, o que lhe acrescenta interesse filosófico.
   Finalmente, enunciados são chamados de contingentes quando podem ser verdadeiros ou falsos, são chamados de tautologias quando só podem ser verdadeiros, e são chamados de contradições quando só podem ser falsos. Quando a tabela de verdade mostra apenas verdades temos tautologias; quando mostra apenas valores falsos temos contradição. Eis um exemplo de tautologia: (A → B) ↔ ~(A  ˄  ~B). Ele é demonstrado pela seguinte tabela de verdade:

   AB   A → B ↔ ~(A  ˄  ~B)
   VV      V      V  F     V   FV
  VF        F      V  F     V   VF
   FV         V        V  V      F     FV
   FF          V        V  V     V     VF
 


   Um outro ponto importante é que podemos transformar qualquer argumento dedutivo em um condicional cujo antecedente é a conjunção das premissas do argumento e cuja conclusão é a conclusão do argumento. Se o condicional for tautológico, o argumento é válido. Exemplo:


1.     Se o aluno estuda, então ele é aprovado.         A → B
2.     O aluno foi reprovado.                                   ~B
3.     Portanto: ele não estuda                                 ~A

     O condicional será o seguinte: ((A → B) & ~B) → ~A. A tabela de verdade mostra que se trata de uma tautologia. Com efeito, a tabela de verdade da implicação só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente falso. Mas a negação disso é precisamente a característica própria dos argumentos válidos, que não podem ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. Por isso a conjunção das premissas de um argumento válido implica forçosamente em sua conclusão.
   Mais um exemplo:

     1) Se João publica, então é autor.
     2) João publica.
     3) Portanto, João é autor.

     Formalizando, fica assim: P → Q,  P, ├ 3) Q   

     Transformando em implicação, temos ((P → Q) & P) → Q. Este argumento é válido porque é uma implicação tautológica como a sua tabela de verdade evidenciará.



DEDUÇÃO NATURAL:

Já vimos como podemos testar a validade de um argumento construindo tabelas de verdade baseadas na semântica dos operadores lógicos. Quando os argumentos se tornam mais complexos podemos demonstrar a validade inferindo a conclusão das premissas em um número finito de passos argumentativos utilizando regras de inferência. Podemos com dez regras básicas demonstrar tudo o que é necessário no cálculo de enunciados de primeira ordem; essas regras são as de introdução e eliminação dos cinco operadores. Vamos começar introduzindo as oito regras mais fáceis:

1) ˄E = j & yj
2) ˄I  =  j, yj & y
3) ~E = ~~jj
4) → E = Eliminação do condicional (modus ponens) = j y, j y
5) ˅I = j j v y

Exemplo: P, ~~(P → Q) ├ (R ˄ S) ˅ Q
Demonstração:
                           1   P                       Prem.
                           2   ~~(P → Q)        Prem.
                           3   P → Q              2   ~E
                           4   Q                      1,3 →E
                           5   (R ˄ S) ˅ Q       4    ˅I

6) ˅E = Dado que j ˅ y e dado que podemos derivar c de j e c de y, podemos concluir c.

Exemplo: (P ˅ Q) ˄ R, P → S, Q → S ├ S ˅ T
Demonstração:

                       1  (P ˅ Q) ˄ R       Prem.
                       2  P → S               Prem.
                       3  Q → S              Prem.
                       4  P ˅ Q                1 ˄E
                       5  S                       2,3,4 ˅E
                       6  S ˅ T                5 ˅I

7) ↔E =  (A↔ B) ├ (A→B) & (B → A)
8) ↔I = (A→B) & (B → A) ├ (A↔ B)

Agora iremos introduzir duas regras um pouco mais difíceis, que são a da introdução da implicação e a da introdução da negação:

9) → I = Introdução do condicional: Introduz-se uma hipótese que, dadas as premissas, serve como condicional para uma conclusão (também chamada de prova condicional ou PC). Por exemplo: Se você continuar correndo o seu joelho não irá sarar. Se ele não sarar você não poderá participar na corrida. Suponha, pois, que você continue correndo. Nesse caso você não poderá participar da corrida!

Exemplo:  P → Q, Q → R ├ P → R
Demonstração:
      Prem.  1  P → Q
      Prem.  2  Q → ~R
      Prem.  3    P               Hipótese para → I
                 4    Q              1,3 → E
                 5    ~R            2,4 → E
                 6  P → ~R      3-5 → I (PC)

10) ~I = Introdução da negação: Se de j podemos derivar y ˄ ~y, podemos concluir ~j (também chamada de redução ao absurdo ou RA). Por exemplo: se faz sol então é dia; não é dia; logo não faz sol. Se dados tais pressupostos hipotetizarmos que faz sol, concluiremos que faz sol e não faz sol, o que torna a hipótese absurda.

Exemplo: P → Q, ~Q ├ ~P
Demonstração:
                 1   P → Q           Prem.
                 2   ~Q                 Prem.
                 3     P                  Hipótese para ~I
                 4     Q                 1,3 → E
                 5     Q ˄ ~Q        3, 4 ˄I
                 6   ~P                  3-5 ~I             (prova do modus tollens)

Regras derivadas:
Qualquer instância de uma forma válida de argumento é válida. Daí surgirem regras derivadas que simplificam o cálculo. Eis algumas mais mais importantes:

Modus Tollens (MT):           j ~y ├ ~j
Silogismo hipotético (SH):    jy, ycjc
Absorção (Abs):                   jyj → (j ˄ y)
Dilema construtivo:              j v yjc, y  → w, c ˅ w.
Repetição (R):                      j y
Contradição (Con):               j ˄ ~j inferimos qualquer wwf
Silogismo disjuntivo (SD):    j ˅ y, ~y j             

Podemos provar algumas wwf sem a necessidade de nenhuma premissa. Esses são os chamados teoremas do cálculo proposicional. Em geral colocamos um martelo (turnstil) antes dele para indicá-lo. Exemplo:

├ P → (P ˅ Q)

Prova desse teorema:

1.      P                  H
2.      P ˅ Q           ˅I
3.      P → P ˅ Q   1-2 (PC)

Outras regras adicionais são as muitas regras de equivalência derivadas geralmente úteis no cálculo:


Lei de De Morgan (DM):         ~(P ˄ Q) ↔(~P ˅ ~Q)
Lei de De Morgan (DM):         ~(P ˅ Q) ↔ (~P ˄ ~Q)
Comutação (Com.) :                (P ˅ Q) ↔ (Q ˅ P)
Comutação (Com.):                 (P ˄ Q) ↔ (Q ˄ P)
Associação (Ass.):                   (P ˅ (Q ˅ R)) ↔ ((P ˅ Q) ˅ R))
Associação (Ass.):                   (P ˄ (Q ˄ R)) ↔ ((P ˄ Q) ˄ R))
Distribuição (Distr.):                (P ˄ (Q ˅ R)) ↔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)
Distribuição (Distr.):                (P ˅ (Q ˄ R)) ↔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R)
Dupla negação (DN):               ~~P ↔ P
Transposição (Trans):              (P → Q) ↔ (~P → ~Q)
Implicação material (IM):        (P → Q) ↔ (~P ˅ Q)
Exportação (Exp.):                   ((P ˄ Q) → R) ↔ (P → (Q → R))
Tautologia (Taut.):                   P ↔ (P ˄ P)
Tautologia (Taut.):                   P ↔ (P ˅ P)

A dedução natural é importante para o cálculo, mas não apresenta maior interesse filosófico.










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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 (para serem entregues em aula):


1. Considerando as definições dos 5 operadores lógicos, determinar os valores-verdade dos seguintes fórmulas compostas por meio de tabelas de verdade:


1)    P v ~P
2)    P & ~P
3)    P & ~Q,
4)    ~P & ~Q
5)     ~(P & ~Q),
6)     (P → Q) & (Q → P)
7)    (P v Q) & ~(P & Q)


Dizer com auxílio de tabelas de verdade se as fórmulas seguintes são tautológicas, contraditórias ou contingentes:

1)    A → B  ↔ ~B → ~A
2)    ~(A & B → A v B)
3)    (A ↔ B) ↔ (A & B) v (~A & ~B)

 
Quanto ao argumento que se segue, 1) Formalizá-lo, 2) transformá-lo em implicação e demonstrar que ele é válido ao mostrar pela tabela de verdade se trata de uma implicação é tautológica:


1.     Se chove as ruas ficam molhadas.
2.     Chove.
3.     Portanto: as chuvas estão molhadas.


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QUESTIONÁRIO 2 (para ser entregue em aula):

1. O que é um argumento válido? Por que esses argumentos são importantes para a lógica?
2. Dê um exemplo de um enunciado que fere o princípio da não-contradição.
3. O que é uma definição circular?
4. Se definimos um ‘Zoodoobedahh’ como um “milionário excêntrico e bêbado”, que tipo de definição é essa?
5. Qual a diferença entre vaguidade e ambiguidade?




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EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO 3 (para ser entregue em aula)

Faça os exercícios com base nas explicações do texto, usando regras mais simples como as de eliminação da implicação (MP), de eliminação da conjunção, de introdução da conjunção, eliminação da negação, introdução da disjunção:

1)    P, Q → R, P → Q ├ R
2)    ~P → (Q → R), ~P, Q ├ R
3)    P → (Q ˄ R), P ├ P ˄ Q
4)    (P ˄ Q) → (R ˄ S), ~~P, Q ├ S
5)    P, ~~(P → Q) ├ Q ˅ ~Q)

Com ˅E, a regra da eliminação da disjunção, além da eliminação e introdução da biimplicação e outras regras acima, provar:

1)    S ˅ D, S→ F, D →F ├ F
2)    F ↔ (S ˅ F),  S ├ F
3)    P → Q,  (P →Q) → (Q → P) ├ P ↔ Q

Com Prova condicional  (→I) prove:

1)    P ├ Q → (P ˄ Q)


Com redução ao absurdo (~I) prove:

1)    P → Q, ~Q ├ ~P
2)    ~(~P ˄ ~Q), ~P ├ Q
















4.     ENUNCIADOS CATEGORIAIS



Os enunciados podem ser divididos da maneira que se segue:

                                             Universais (ex: “Todo F é G”)
                      Gerais
                                             Particulares (ex: “Algum F é G”)
Enunciados

                          Singulares  (ex: “a é F”)

A distinção acima nos faz lembrar que muitos argumentos não dependem apenas dos operadores ou conectivos até agora considerados, mas da estrutura interna dos enunciados, e que os conectivos do cálculo dos enunciados tem a limitação de apenas relacionar enunciados. Esses argumentos, que dependem da estrutura interna dos enunciados, têm a ver com expressões como ‘todos’ e ‘alguns’. Considere o seguinte exemplo:

1.     Alguns homens são matemáticos.
2.     Todos os matemáticos trabalham com números.
3.     Alguns homens trabalham com números.

Esse argumento é intuitivamente válido. O cálculo proposicional nos permitiria formular o argumento acima como P, Q ├ R. Mas esse argumento é inválido: P e Q podem ser verdadeiros e R falso.

Contudo, com auxílio de ‘todos’ e ‘alguns’ podemos formular simbolicamente o argumento acima de uma forma intuitivamente válida:

1.     Alguns F são G.
2.     Todos os G são H.
3.     Logo: Alguns F são H.

Aqui F = homens, G = matemáticos, H = trabalham com números. F, G e H são os chamados termos gerais, termos de classe ou predicados. São expressões que podem ser as mais diversas, conquanto possam ser aplicadas a mais de um objeto.
Como exemplo, considere agora o seguinte argumento:

Todas as aranhas tem oito patas.
Todos os animais com oito patas são insetos.
Portanto: Todas as aranhas são insetos.

Como simbolizar?  Aqui F = aranhas, G = tem oito patas, H = são insetos.

1.     Todos os F são G.
2.     Todos os G são H.
3.     Logo: Todos os F são H.

Os termos gerais são muitas vezes relacionados por meio de quantificadores, que são operadores lógicos como ‘todos’ e ‘alguns’ expressando relações entre os conjuntos designados pelos termos gerais ou termos de classe. Assim, um enunciado da forma “Todos os F são G” diz que F é um subconjunto de G, ou seja, todo membro de F é também membro de G.
   Por convenção, em enunciados da forma “Alguns F são G” são em lógica entendidos, não no sentido usual de que mais do que um F é G, mas no sentido de que ao menos um F é G. Além disso, eles são entendidos no sentido em que se admite ser possível que todos os F sejam G. Pode ser, pois, que somente uma mala na esteira seja vermelha e que todas as casas e minha rua sejam brancas. Quanto a termos como ‘é’, ‘são’, que ligam os termos gerais, eles são chamados de cópulas. Chamamos de enunciado categorial aquele que contém dois termos gerais ligados por uma cópula.
   No enunciado categorial o primeiro termo geral se chama sujeito e o segundo predicado. Assim, chamando S de sujeito e P de predicado temos as seguintes formas de enunciado categorial:

   A   Todos os S são P.
   E    Nenhum S é P.
   I     Alguns S são P.
   O   Alguns S não são P.

   Importante é perceber o uso da palavra ‘não’. Quanto o ‘não’ é aplicado a uma sentença inteira ele exprime a negação lógica: ele torna falso o que é verdadeiro e verdadeiro o que é falso. Mas quando o ‘não’ vem antes do predicado, ele tem uma função modificadora: ele modifica um termo de classe ou geral para introduzir um novo termo de classe ou geral. Por exemplo: “Algumas casas não são brancas”. Aqui o ‘não’ apenas modifica a classe referida pelo predicado, que passa a ser de tudo aquilo que não é branco. Geralmente o conjunto de todas as coisas que não são membros do conjunto S são o complemento de S. Por isso o “não” pode exprimir negação mas também mera complementação.
   Há casos de ambiguidade no uso do “não”, por exemplo:

   Todos os homens não são racionais.

Pode ser interpretado como dizendo “Não é o caso que todos os homens são racionais” (não da negação) e também como dizendo “Todos os homens são não-racionais” (não da complementação).
   Os prefixos “não-“, “im-“, “ir-“ geralmente exprimem o não da complementação, por exemplo, na frase “Todos os homens são irracionais”, mas nem sempre. Note-se que enquanto “Alguns S não são P” tem e forma O, “Alguns S são não-P” enfatiza a forma I.

Inferências imediatas
Inferências imediatas são argumentos de uma premissa e uma conclusão, ambos sendo enunciados categoriais. Por exemplo:

 ~(Todo S é P) ↔ Algum S é não-P,

donde um implica na negação do noutro, e

 Todo S é P ↔ ~(Algum S é ~P),

donde um também implica no outro.
   Enunciados da forma A e O com os mesmos termos são contraditórios: Se um é verdadeiro o outro é falso e vice-versa. Da mesma forma, enunciados da forma E e I com os mesmos termos implicam na contradição um do outro:

~(Todo S é P)   Algum S é não-P
~(Algum S é P) ↔ Nenhum S é P.

   Existem ainda inferências imediatas conversas, quando o sujeito troca de lugar com o predicado: “Alguns S são P” e “Alguns P são S”. Elas são válidas para as formas E e I:

Para E: Nenhum S é P  ↔ Nenhum P é S.
Para I:  Algum S é P  ↔ Algum P é S.

   Dois enunciados categóricos são contrapositivos se um resulta do outro pela reposição do termo sujeito pelo complemento de seu termo predicativo e pela reposição de seu termo predicativo pelo complemento de seu sujeito. Exemplo:

 Todos os S são P ↔ Todos os não-P são não-S

são contrapositivos. Esse é mais um exemplo de inferência imediata.
   As quatro formas básicas de enunciado categorial podem ser classificadas em termos quantitativos e qualitativos. Quantitativamente são universais e particulares, qualitativamente são afirmativos e negativos (A e I de afirmo e E e O de nego):

     A   Universal afirmativo
     E   Universal negativo
     I    Particular afirmativo
     O   Particular negativo

   O último tipo de inferência imediata é a obversão. Ela consiste na mudança na qualidade do enunciado categórico (mantendo a mesma quantidade) enquanto substituindo o predicado pelo seu complemento. Por exemplo:

Nenhum S é P ↔ Todo S é não-P.

   A lógica aristotélica difere da contemporânea no fato de que nela os conjuntos nunca são vazios. A admissão de predicados com conjuntos vazios simplifica a lógica.
   Na lógica aristotélica os silogismos tinham duas premissas e uma conclusão. As premissas tinham o chamado termo médio, que aparece em ambas as premissas e o termo maior que aparece na primeira premissa e na conclusão. Por exemplo:

   Todos os homens são mortais.
   Todos os gregos são homens.
   Todos os gregos são mortais


   Aqui o termo médio é ‘são homens’ e o termo maior é ‘são mortais’. Dependendo da distribuição do termo médio se produziam quatro figuras silogísticas, havendo dentro de cada figura várias formas, já que os juízos podem se diferenciar segundo a qualidade e quantidade...



























[1] E. Tugendhat, U. Wolf: Propedêutica Lógico-Semântica (Petrópolis: Vozes, 1997), p.51


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